Unvernünftige Primzahlen – Warum die Wurzel einer Primzahl nie rational sein kann

Für die Liebhaber des heimlichen Geliebten meiner Mitbloggerin ( ) hier eine kleine mathematische Spielerei von mir. Wie der Titel schon sagt, handelt es sich hier um den Beweis dafür, dass die Wurzel einer jeden Primzahl irrational ist. Wer Logik-und/oder Rechtschreibfehler findet, darf sie behalten oder sie mir meinetwegen auch mitteilen, ganz wie ihr wünscht. Mit dem Beweis sind mir zwar vermutlich schon ein paar Andere zuvorgekommen, aber den hier habe ich nicht geklaut.

Behauptung: „Die Wurzel einer jeden Primzahl ist irrational.“

Was tun, wenn man diesen Satz beweisen will? Ich liste als Erstes gern die Eigenschaften der genannten Zahlen auf:

1.: Irrationale Zahlen können nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden.

2.: Primzahlen gehören zur Menge der natürlichen Zahlen und…

3.: …lassen sich nur durch 1 und sich selbst glatt teilen, daraus folgt:

4.: Die Wurzel einer Primzahl ist niemals ganz.

Für’s Erste fallen mir keine weiteren Eigenschaften ein, also geht es weiter mit dem zweiten Schritt. Ich habe die Richtigkeit dieses Satzes mit einem sogenannten Widerspruchsbeweis bewiesen, das bedeutet, ich habe sein Gegenteil angenommen und gezeigt, dass es falsch ist.

In diesem Fall wäre das die Aussage „Es gibt Primzahlen, deren Wurzel rational ist.“

Um das zu überprüfen, benutzen wir eine Gleichung mit ein paar Variablen. Die Primzahl bezeichnen wir mit dem Buchstaben p; die Wurzel von p drücken wir als rationale Zahl, also als Bruch m/n aus. m steht hier für eine ganze und n für eine natürliche Zahl. (Der Grund dafür, warum keine ganze, sondern eine natürliche Zahl im Nenner steht, liegt darin, dass die Menge der ganzen Zahlen die Null beinhaltet; die natürlichen Zahlen aber nicht. Nicht vergessen: Die Teilung durch Null ist nicht definiert!)

So sieht unsere Anfangsgleichung aus:

sqrt(p) = m/n

Als Nächstes habe ich sie ein wenig umgeformt und die Wurzel herausquadriert, sodass nun Folgendes in der Gleichung steht:

p = (m/n)^2 = m^2/n^2

Wir können aus der Tatsache, dass die Wurzel einer Primzahl nie ganz ist, schlussfolgern, dass m nicht durch n teilbar ist; ansonsten würde m/n eine ganze Zahl ergeben.

Daraus folgt, dass auch m^2 nicht durch n und damit auch nicht durch n^2 teilbar ist. Das würde wiederum bedeuten, dass p keine ganze Zahl ist. Da wir p jedoch am Anfang als Primzahl und somit auch als ganze Zahl festgelegt haben, entsteht hier ein Widerspruch, der uns sagt, dass die Wurzel einer Primzahl niemals rational sein darf, also stets irrational ist.

Q.E.D. (denk ich mal…)

~ von leuchtzwiebel am August 21, 2008.